英国剑桥大学博士，研究员级高工

中国船级社技术委员会机电技术委员

研究方向为船舶自动化及变频控制技术

发表SCI论文15篇，授权专利73项

“三相不平衡”是一种大家常常挂在嘴边的概念。那么究竟什么是不平衡？如何科学地定义不平衡度？不平衡会带来什么样的困扰？这三个灵魂拷问，相信很多有经验的工程师并不能很好地回答。

三相不平衡的一系列理论在电力推进的应用中起到重要作用，主要在以下两个方面：

除了第一类之外，对第二类第三类人群的建议是，只要是和行业相关，读了一定会有收获，邵博士本身入门矢量控制时，读了一本红皮书（充斥着让人不懂的数学，英文书有几页一个英文没有，全是公式），读了三遍才算真正入门，有着打通任督二脉的感觉。

乌博士读了一遍，就说他懂了，这就导致他的科研成就有了一定的瓶颈。

如果问邵博士我是读哪一遍书才懂的，我不好说，但是从我翻开那本书的第一课起，就开始有了收获。

这也就是这一类课程的主题：懂与不懂，都是收获。

很可惜，这并不是故事的全部。这个三相系统实在太理想了。在真实的世界中，三相电压是平衡的、幅值相等的、相位差120°，这3个条件，往往一个都不能满足。

一个三相系统的最通用的描述，其实可以写成下面的公式：

• 3.2.2.1 正序电压

很显然，这个正序电压完全符合了G100《矢量控制基本原理简介》中对于完美的三相电压是平衡的、幅值相等的、相位差120°的定义。那么其静止坐标系下矢量化表达，具体如何表达参见 图表 1，该矢量的长度是|u|+，采用逆时针的方向旋转，且旋转角频率是ω。

• 3.2.2.2 零序电压

图表 2 零序电压的矢量化表达

在一个三相系统里面，在大部分情况下零序电压往往并不能体现出任何的作用，因为三相绕组大多数采用星型或者三角型的连接，三个相同的电压作用在变压器或者电机绕组上，往往并没有太大的卵用，理论上不会产生电流和磁链，因此这个电压可以忽略不计。

用另一种语言表述一下，对变压器的原边施加零序电压，变压器的副边并不会感应出任何东西来……，这也是变压器虽然大、笨、重，但是我们还是挺喜欢变压器的原因。

既然本文档集中于三相系统的描述，因此本文不对零序电压做过多的描述。

然而作为题外话，当零序电压的幅值|u|0是变化的，特别是高频变化的时候，这个零序电压有了另一个威风凛凛的名字，叫做：“共模电压”。这个共模电压成为了实际工程经验中令人烦恼的存在。简单岔开话题，共模电压的是80%以上的电磁兼容问题的罪魁祸首，而且具有测不准算不准等特点，在我赛能研究明白共模电压的只有岳博士，其他人（包括乌博士）都一知半解只会用模型仿真。截止于2022年3月15日，我赛的“/研发中心/我赛亚太研究院/综合试验报告/”文件夹中，就有如下的关于共模的报告：

1. G002《网侧并网的共模电压试验报告》

2. G025《锂电池柜共模滤波器设计选型》

3. G026《共模电压及其抑制方式的理论分析和试验验证》

4. G031《针对690客位项目共模滤波器设计的Simulink和Mathcad仿真模型的比较和验证》

只能说，天下苦共模久矣。然而本文档并不是讨论共模的，所以我们就暂时放过零序电压了，可能哪天会开一集连续剧专门讲共模。

• 3.2.2.3 负序电压

假设不考虑零序电压了，那么通用的三相系统的矢量表达可以参见图表 4，即由一个幅值是|u|+，采用逆时针的方向旋转，且旋转角频率是ω的矢量和一个幅值是|u|-，采用顺时针的方向旋转，且旋转角频率是ω的矢量叠加形成。

由于本定义忽视了零序电压，因此通用三相系统的电压叠加永远是0。换句话说，任何叠加为0的三相系统，都可以分拆为正序矢量和负序矢量的叠加。

能坚持到目前为止的同学，想必有一颗坚忍的心，或者深爱控制，或者兼而有之。

为了奖励大家的坚持，邀请大家加入船舶新能源动力小课堂-交流研讨群，如果你觉得邵博士说的不对或者不全面，你可以在群里提问或者当众怼他。。。

为了更形象地对不平衡进行描述，有必要使用仿真。

图表 5给出了频率为50Hz的100V正序和-50Hz的10V负序之间的叠加。

从图表 6可以看到，负序矢量，或者说负频率造成的结果，就是三相电压的相序相反。最后叠加的结果，造成了所谓的“三相电压不平衡”。

希望这个仿真可以给同学们一个比较直观的认识。

现在我们回到一开始的“不平衡”的说法。所谓的平衡系统，就是指仅存在正序矢量的三相系统。所谓的不平衡系统，就是既有正序矢量，又有负序矢量的三相系统。

看到一个波形，有人说：“这个波形很平衡”，有人说：“这个波形不甚平衡”。这种太不科学了。就好比THD可以用来量化“正弦度”，不平衡度也有自己的量化公式。

不平衡度ε的定义比较多，适用于我们的情况的最典型的公式是：

用图形看看不平衡度会更加直观一些。参见图表 7。可以看到，不平衡度改变的不仅是三相的幅值，三相之间的相位也被深刻地改变了。

图表 7 不同的不平衡度下的三相电压波形

（左上：ε = 20%，右上ε = 50%，左下，ε = 80%，右下，ε = 100%）

这里重点描述，不平衡的系统，究竟对于系统会产生什么影响。

第一种不平衡的原因，就是负载的不平衡。即假设我们拥有了完美的平衡三相电源，但是因为负载本身或者传输线路的不一致，导致了负载本身体现出了不平衡。

• 4.1.1.1 仿真模型

• 4.1.1.2 平衡负仿真结果

后先进行平衡负载的仿真，假设UVW三相负载均为1Ω的电阻和10mH的电感串联，则可以读取三相电流和有功功率的输出参见图表 9。可以看到，三相电流是平衡的，而且有功功率是一个恒定值，类似的描述在G100《矢量控制基本原理简介》也有涉及。

• 4.1.1.3 不平衡负仿真结果

人为修改负载参数，将U相负载改为0.8Ω的电阻和8mH的电感串联，而V和W相负载仍然是为1Ω的电阻和10mH的电感串联。此时可以认为三相负载不均衡了，则得到的电流和有功功率的波形参见图表10。

从电流上来说，其电流波形很接近ε = 10%的图表 6所示的波形，而功率则体现出了在平均的1.4kW附近产生了振荡，且振荡频率是基频50Hz的2倍，即100Hz。

• 4.1.1.4 仿真小结

这个仿真告诉我们，平衡的系统会产生恒定的功率输出，不平衡的系统会在恒定功率输出的基础上，额外产生2倍基频的功率输出。

另一种不平衡的来源，是不平衡的电压源加到了平衡的负载上。显而易见的是，此时系统更加复杂。事实上，在绝大部分的真实系统中，电源和负载都不平衡。

我们将几种情况总结在表格 1中。

      那么从矢量的角度来说，功率就是：

上述的计算，本质上体现出了一个概念，即叠加定理。叠加定理认为，一个正序（u+）+负序（u-）的矢量电压，施加到一个线性时不变系统（用人话说就是由RCL组成的电路网络）中，可以分别用正序电压（u+）施加于该系统得到电流的正序激励（i+），再用负序电压（u-）施加于该系统得到电流的负序激励（i-）。正序电流激励和负序电流激励的矢量和就是电流值。

1. 于此同时，有功功率可以继续拆分，分为：正序电压u+和正序电流i+相乘（点乘）得到的有功功率分量P++；

2. 正序电压u+和负序电流i-相乘（点乘）得到的有功功率分量P+-；

3. 负序电压u-和正序电流i+相乘（点乘）得到的有功功率分量P-+；

4. 负序电压u-和负序电流i-相乘（点乘）得到的有功功率分量P--。

最终的有功功率，是上述4种功率分量的代数和，即P = P++ + P+- + P-+ + P--。

正序电压u+和正序电流i+相乘（点乘）得到的有功功率分量P++计算为（如果对于三角积化和差不了解的，可以翻阅一下高中数学教科书，在1999年上海卷高考，这属于必修部分）：

这个计算过程反映出了一个神迹，即平衡的三相电压和三相电流，可以得到恒定不变的有功功率，这也是我们可以利用变换的三相交流电，可以得出一个稳定的负载输出的原因（例如稳定恒定的推进器功率等），但是负序可能就不一样了。

用数学的方式来简单算一算正序电压u+和负序电流i-相乘（点乘）得到的有功功率分量。

假设三相电压的正序分量为：

神奇的地方出来了，这个骚计算告诉我们，一个正序的电压和一个负序的电压，会得到一个2倍基频抖动的有功功率。这个有功功率经过一个周期，总体的做功毫无任何卵用，被平均成0了，在稳态计算中甚至可以忽略不计，但是可能给我们造成很多困扰，比如说推进功率中的转矩抖动，带来很多客户很讨厌的额外的振动、噪声和无用的功耗，甚至破坏一些功率转换设备。

上述计算也告诉我们，对于一个实际的频率为50Hz的三相系统，总是难以避免地出现100Hz的杂碎，这些杂碎会在有功功率、无功功率甚至直流母线电压等变量中有所体现！

将上述的分析，扩展到整体的功率计算，可以总结到：

1. 正序电压u+和正序电流i+相乘（点乘）得到的有功功率分量P++，幅值为1.5|u|+|i|+，频率为直流。

2. 正序电压u+和负序电流i-相乘（点乘）得到的有功功率分量P+-，幅值为1.5|u|+|i|-，频率为2f。

3. 负序电压u-和正序电流i+相乘（点乘）得到的有功功率分量P-+，幅值为1.5|u|-|i|+，频率为2f。

4. 负序电压u-和负序电流i-相乘（点乘）得到的有功功率分量P--，幅值为1.5|u|-|i|-，频率为直流。

5. 考虑到对于一般的三相系统中，总体平衡度还是很高的，ε < 5%，那么就有|u|+ >> |u|-，且|i|+ >> |i|-。于是可以得到P++ >> P+- ≈ P-+ >> P--。

和G100《矢量控制基本原理简介》表述不同，矢量本身分为正序矢量和负序矢量，所以所谓的同步旋转坐标系，又分为了正序同步旋转坐标系和负序同步旋转坐标系。

如果矢量被变换到正序同步旋转坐标系上，可以参见图表 11。

正序矢量在正序同步旋转坐标系上是静止的，而负序矢量在正序同步旋转坐标系上以-2ω的频率旋转（或者说以2ω的频率顺时针旋转）。

所以在正序同步旋转坐标系上，一个通用的矢量可以表达为一个静止的幅值为|u|+的矢量和一个以-2ω的频率旋转的幅值为|u|-的矢量叠加。

如果矢量被变换到负序同步旋转坐标系上，可以参见图表 12。

负序矢量在负序同步旋转坐标系上是静止的，而正序矢量在正序同步旋转坐标系上以2ω的频率旋转（逆时针）。

所以在正序同步旋转坐标系上，一个通用的矢量可以表达为一个静止的幅值为|u|-的矢量和一个以2ω的频率旋转的幅值为|u|+的矢量叠加。

简单讲上述的坐标变换进行小结，可以参见表格 2。

从4.1.1可以看到，提取正负序的分量，关键在于滤除2ω的谐波，而保留直流的分量。

可以考虑的方式是低通滤波器，或者带阻滤波器。

低通滤波器的介绍可以参考G112《拉普拉斯和傅里叶那些事儿》。这里主要介绍带阻滤波器。带阻滤波器主要目的是滤除一个特定的频率，比较适合特征频率比较固定的应用之中。以我们的应用来说，如果是电网类应用，频率是比较固定的50Hz或者60Hz，那么负序的频率也是固定的100Hz或者120Hz，那么使用带阻滤波器会更加合适。以50Hz应用为例，一个典型的滤除100Hz的带阻滤波器可以设计成：

前面说的都是基于连续时间域的滤波器设计，而实际实现往往是基于数字信号的，所以这里简略说一下关于数字的实现方式。这一部分属于“数字信号处理”这门学科了，和我赛的主要技术内容关联性不大，这里仅仅做一般知识上的描述。

数字滤波器一般分为IIR和FIR两种：

1. 无限脉冲响应滤波器是数位滤波器的一种，简称IIR数位滤波器（infinite impulse response filter）。由于无限脉冲响应滤波器中存在反馈回路，因此对于脉冲输入信号的响应是无限延续的。

2. 有限脉冲响应滤波器是数字滤波器的一种，简称FIR数字滤波器（finite impulse response filter）。这类滤波器对于脉冲输入信号的响应最终趋向于0。

IIR滤波器的设计主要适用于已知的模拟滤波器的数字化，因此我赛的滤波器设计都是采用IIR滤波器。也就是先根据5.1.2进行滤波器的设计（可以是低通滤波器或者带阻滤波器），然后将连续域转换成离散域。

转换的方式很多，我赛采用的是双线性变换的方式，由于和我赛的主要内容差距过大，因此具体可以百度一下。

目前我赛的应用中，研究不平衡度或者负序，主要有2个应用，分别是：

1. AFE应用中对缺相的检测，可以参见G202《AFE前端换相以及缺相的研究与分析》

2. 发电机/电动机的差动保护，可以参见G116《发电机和电动机的差动保护及实现》

在我赛PPB的底层保护中，还有所谓的“三相电流不平衡”，事实上这个电流是用来检测零序电流的，只是简单地将三相电流加在一起。